積分的加減乘除運算法則

積分是常數(shù)，是微積分學(xué)與數(shù)學(xué)分析里的一個核心概念，通常分為定積分和不定積分兩種。積分中的加減運算法則指的是對兩個或多個函數(shù)進行加減運算的規(guī)則。

積分的加減乘除運算法則

積分的加減乘除運算法則如下：

1、加法法則：包括兩個重要公式。第一個公式是積分求和公式，即∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx。第二個公式是積分的線性性，即∫[a,b](αf(x)+βg(x))dx=α∫[a,b]f(x)dx+β∫[a,b]g(x)dx，其中α、β為任意常數(shù)。

這意味著對于某一區(qū)間內(nèi)的兩個函數(shù)，求它們的積分和時，可以將兩個函數(shù)的積分分別求出后再相加；當需要將某一區(qū)間內(nèi)的函數(shù)乘以一個常數(shù)后求積分時，可以將該常數(shù)分別乘以函數(shù)的積分后再相加。

2、減法法則：與加法法則基本相同，只是在第一個公式中多了一個負號，即∫[a,b](f(x)-g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx-∫[a,b]g(x)dx。這個公式意味著當需要對某一區(qū)間內(nèi)的兩個函數(shù)進行積分差時，可以將該區(qū)間內(nèi)第二個函數(shù)的積分取相反數(shù)后再與第一個函數(shù)的積分相加。

3、乘法法則：用于求兩個函數(shù)的積的積分，其公式為∫[a,b]f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)∣[a,b]-∫[a,b]f'(x)g(x)dx。這意味著當需要求某一區(qū)間內(nèi)兩個函數(shù)乘積的積分時，可以將其中一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘另一個函數(shù)的原函數(shù)后再減去另一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第一個函數(shù)的原函數(shù)的積分。

4、除法法則：用于求兩個函數(shù)相除的積分，其公式為∫[a,b]f(x)g'(x)dx=ln|g(x)|∣[a,b]-∫[a,b]f'(x)ln|g(x)|dx。這意味著當需要求某一區(qū)間內(nèi)兩個函數(shù)相除的積分時，可以將被除數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)后求積分，再減去除數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以被除數(shù)除以除數(shù)的積分的自然對數(shù)值。

積分加減乘除的關(guān)系

研究函數(shù)微分與積分的目的和意義

加減乘除都是針對數(shù)的運算，當面對更復(fù)雜的問題時，加減乘除就不夠用了，微分和積分是針對函數(shù)的運算。

加減乘除對函數(shù)也是有效的，但是僅僅是逐點計算的，不是整體的運算。

通過引入新的計算方式，即微分和積分，可以對函數(shù)在整體上進行運算從而得到一些新的函數(shù)，這就拓展了以前的加減乘除的運算。

高中積分乘除運算法則

定積分有分步積分，公式∫udv=uv-∫vdu

沒有什么乘除法則

定積分沒有乘除法則，多數(shù)用換元積分法和分部積分法。

換元積分法就是對復(fù)合函數(shù)使用的：

設(shè)y=f(u)，u=g(x)

∫f[g(x)]g'(x)dx=∫f(u)du

換元積分法有分第一換元積分法：設(shè)u=h(x)，du=h'(x)dx

和第二換元積分法：即用三角函數(shù)化簡，設(shè)x=sinθ、x=tanθ及x=secθ

還有將三角函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分的換元法：

設(shè)u=tan(x/2)，dx=2/(1+u2)du，sinx=2u/(1+u2)，cosx=(1-u2)/(1+u2)

分部積分法多數(shù)對有乘積關(guān)系的函數(shù)使用的：

∫uv'dx

=∫udv

=uv-∫vdu

=uv-∫vu'du

其中函數(shù)v比函數(shù)u簡單，籍此簡化u。是由導(dǎo)數(shù)的乘法則(uv)'=uv'+vu'推導(dǎo)過來的。

有時候v'=1的，例如求∫lnxdx、∫ln(1+x)dx等等。