平均數(shù)和方差公式

平均數(shù)和方差都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要概念，平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和的平均數(shù)，他們之間存在著諸多聯(lián)系。

平均數(shù)和方差公式

1、平均數(shù)公式

平均數(shù)是數(shù)據(jù)集中所有數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)，它表示數(shù)據(jù)的中心位置。計(jì)算公式如下：

平均數(shù)=所有數(shù)據(jù)的總和/數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)。

例如，如果有一個(gè)包含5個(gè)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，分別是3、4、6、8和10，那么這個(gè)數(shù)據(jù)集的平均數(shù)為：

平均數(shù)=（3+4+6+8+10）/5=6.2

2、方差公式

方差是數(shù)據(jù)集每個(gè)數(shù)據(jù)與其平均數(shù)之差的平方之和，再除以數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)減1，它表示數(shù)據(jù)分布的離散程度。方差越大，表示數(shù)據(jù)的分散程度越大，越不集中；相反，方差越小，表示數(shù)據(jù)的分散程度越小，越集中。計(jì)算公式如下：

方差=Σ（所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方）/數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)-1例如，如果有一個(gè)包含5個(gè)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，分別是3、4、6、8和10，那么這個(gè)數(shù)據(jù)集的方差為：

平均數(shù)=（3+4+6+8+10）/5=6.2

（x1-6.2）^2+（x2-6.2）^2+（x3-6.2）^2+（x4-6.2）^2+（x5-6.2）^2=（3-6.2）^2+（4-6.2）^2+（6-6.2）^2+（8-6.2）^2+（10-6.2）^2=10.96方差=10.96/（5-1）=2.74。

方差和標(biāo)準(zhǔn)差有什么區(qū)別

1、概念不同。統(tǒng)計(jì)中的方差（樣本方差）是每個(gè)樣本值與全體樣本值的平均數(shù)之差的平方值的平均數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)差是總體各單位標(biāo)準(zhǔn)值與其平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。

2、樣本不同。樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的量，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大。

3、對(duì)于數(shù)據(jù)的表現(xiàn)不同。真正能反映穩(wěn)定性的是標(biāo)準(zhǔn)差，因?yàn)樗膯挝缓蛿?shù)據(jù)的單位是一樣的，而方差的單位是數(shù)據(jù)單位的平方，所以方差有點(diǎn)夸大波動(dòng)的情況。

4、方差是在概率論

和統(tǒng)計(jì)方差衡量隨機(jī)變量

或一組數(shù)據(jù)時(shí)離散程度的度量，用來度量隨機(jī)變量和其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度。標(biāo)準(zhǔn)差在概率統(tǒng)計(jì)中常做統(tǒng)計(jì)分布程度上的測(cè)量，反映組內(nèi)個(gè)體之間的離散程度，平均數(shù)相同的兩組數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。

方差為什么要平方而不是絕對(duì)值

方差要進(jìn)行平方而不是求絕對(duì)值，原因是方差本質(zhì)上是樣本與樣本均值偏差的平方和的平均數(shù)，其中每個(gè)偏差值都是有正負(fù)之分的，采用絕對(duì)值會(huì)導(dǎo)致這些正負(fù)差別被抹去，無法反映出樣本真實(shí)的波動(dòng)程度。

因此，通過平方的方式來計(jì)算方差，可以使得樣本點(diǎn)偏離均值的距離作為波動(dòng)程度的度量，并且這種計(jì)算方式被廣泛認(rèn)為更為準(zhǔn)確和客觀。

另外，由于平方運(yùn)算會(huì)放大數(shù)據(jù)的異質(zhì)性，因此對(duì)于存在差異較大的數(shù)據(jù)（如極端值），采用方差并平方計(jì)算的方式可以更好地表達(dá)它們對(duì)總體數(shù)據(jù)的影響。