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等比數(shù)列的求和公式

時(shí)間:2024-02-27 15:24閱讀數(shù):555

等比數(shù)列是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要掌握的重點(diǎn)在內(nèi)容,等比數(shù)列是指從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)的一種數(shù)列,在等比數(shù)列中,依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。

等比數(shù)列的求和公式

等比數(shù)列的求和公式:Sn=首項(xiàng)(1-公比的n次方)/1-公比(公比≠1)等比數(shù)列求和公式是求等比數(shù)列之和的公式。

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公式可以快速的計(jì)算出該數(shù)列的和。

等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

等比數(shù)列是一種數(shù)列,其中每一項(xiàng)(除了第一項(xiàng))都是前一項(xiàng)的固定倍數(shù)。這個(gè)固定倍數(shù)被稱為公比。等比數(shù)列有很多有用的性質(zhì),以下是一些基本性質(zhì)及其應(yīng)用:

1.公比:如果a,ar,ar^2,…,ar^(n-1)是等比數(shù)列,那么公比r是常數(shù),且r^n=ar^(n-1)/ar^n。因此,我們可以通過已知的相鄰項(xiàng)關(guān)系來確定公比。

應(yīng)用:已知an和a_{n+1},我們可以求出公比r=a_{n+1}/an。

2.和/差公式:設(shè)a,ar,ar^2,…,ar^(n-1)是等比數(shù)列,那么它們的和Sn=a(1-r^n)/(1-r)。同樣,這些項(xiàng)的差Dn=ar^(n-1)/(1-r)。

應(yīng)用:在等比數(shù)列中,我們常用和/差公式來簡(jiǎn)化求和和求差運(yùn)算。

3.通項(xiàng)公式:如果a,ar,ar^2,…,ar^(n-1)是等比數(shù)列,那么其通項(xiàng)公式為an=ar^(n-1)。

應(yīng)用:通項(xiàng)公式可以幫助我們找到等比數(shù)列中任意一項(xiàng)的值。

4.求和公式:如果a,ar,ar^2,…,ar^(n-1)是等比數(shù)列,那么它們的和Sn=a(1-r^n)/(1-r)。

應(yīng)用:求和公式可以幫助我們快速計(jì)算等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。

5.等比中項(xiàng):如果一個(gè)數(shù)列{a,ar,ar^2,…,ar^(n-1)}是等比數(shù)列,那么它的等比中項(xiàng)是ar^(n/2)(如果n是奇數(shù))或(ar^((n/2)-1)+ar^((n/2)+ 1))/2(如果n是偶數(shù))。

應(yīng)用:等比中項(xiàng)可以幫助我們求取等比數(shù)列的“中心”值。

6.無窮等比數(shù)列的和:如果一個(gè)等比數(shù)列的公比絕對(duì)值小于1,那么它的無窮項(xiàng)和S=a/(1-r)。

應(yīng)用:這個(gè)公式可以幫助我們計(jì)算無窮等比數(shù)列的和。

等比數(shù)列的性質(zhì)在日常生活和工作中有很多應(yīng)用,比如計(jì)算利息、復(fù)利、數(shù)列求和、金融模型等等。

等比數(shù)列的等比中項(xiàng)怎么算

因?yàn)榈缺葦?shù)列用通式:Un=ar^(n-1)

a,ar,ar2,ar3,一直到ar^(n-2),ar^(n-1)

那么,觀察到,第一項(xiàng)乘以最后一項(xiàng)=第二項(xiàng)乘以倒數(shù)第二項(xiàng)=第三項(xiàng)乘以倒數(shù)第三項(xiàng),以此類推

∴中項(xiàng)乘以中項(xiàng)=中項(xiàng)的平方=第一項(xiàng)乘以最后一項(xiàng)

∴中項(xiàng)2=a·ar^(n-1)=a2r^(n-1)

∴中項(xiàng)=ar^[(n-1)/2]