連續(xù)和一致連續(xù)的區(qū)別

連續(xù)和一致連續(xù)是不同的概念。連續(xù)函數(shù)是一種較弱的性質(zhì)，只要求在每個(gè)點(diǎn)上都連續(xù)，而一致連續(xù)函數(shù)則是一種較強(qiáng)的性質(zhì)，要求在整個(gè)定義域上都連續(xù)。

連續(xù)和一致連續(xù)的區(qū)別

一致連續(xù)（uniformcontinuity）和連續(xù)（continuity）是數(shù)學(xué)中兩個(gè)相關(guān)但有區(qū)別的概念。

連續(xù)是指函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都存在極限，并且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)沒(méi)有跳躍或斷裂。簡(jiǎn)而言之，連續(xù)函數(shù)在局部上沒(méi)有間斷的部分。數(shù)學(xué)上，如果對(duì)于函數(shù)f（x）和給定的x值，在x的領(lǐng)域內(nèi)，對(duì)于任意給定的epsilon（ε），存在delta（δ），使得在距離x不超過(guò)delta（|x-y|≤δ）的所有y值上，f（y）和f（x）之間的差值不超過(guò)epsilon（|f（y）-f（x）|≤ε），那么函數(shù)f（x）在x處是連續(xù)的。

一致連續(xù)是連續(xù)的加強(qiáng)版，它在連續(xù)的基礎(chǔ)上要求函數(shù)的整個(gè)定義域上都具有一致的性質(zhì)。簡(jiǎn)而言之，一致連續(xù)函數(shù)在整個(gè)定義域上不存在局部間斷的部分。數(shù)學(xué)上，如果對(duì)于函數(shù)f（x），存在一個(gè)delta（δ），使得對(duì)于定義域上的任意x和y值，在距離不超過(guò)delta的所有點(diǎn)對(duì)（x,y），都有|f（y）-f（x）|≤ε，那么函數(shù)f（x）可以稱為一致連續(xù)。

總結(jié)起來(lái)，連續(xù)性表達(dá)的是函數(shù)在每個(gè)點(diǎn)上的無(wú)間斷性，而一致連續(xù)性則表達(dá)的是函數(shù)在整個(gè)定義域上的無(wú)間斷性。

連續(xù)和一致連續(xù)的區(qū)別主要有三點(diǎn)：

1.范圍不同：連續(xù)是局部性質(zhì)，一般只對(duì)單點(diǎn)，而一致連續(xù)是整體性質(zhì)，要對(duì)定義域上的某個(gè)子集。

2.連續(xù)性不同：一致連續(xù)的函數(shù)必連續(xù)，連續(xù)的未必一致連續(xù)。如果一個(gè)函數(shù)具有一致連續(xù)性則一定具有連續(xù)性，而函數(shù)具有連續(xù)性并不一定具有一致連續(xù)性。

3.圖像區(qū)別：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必一致連續(xù)，所以在閉區(qū)間上來(lái)講二者是一致的；在開(kāi)區(qū)間連續(xù)的未必一致連續(xù)，一致連續(xù)的函數(shù)圖像不存在上升或者下降的坡度無(wú)限變陡的情況，連續(xù)的卻有可能出現(xiàn)，比如在（0,1）上連續(xù)的函數(shù)y=1/x。

一致連續(xù)函數(shù)一定連續(xù)嗎

一致連續(xù)函數(shù)不一定連續(xù)。

首先，我們需要明確什么是一致連續(xù)函數(shù)。一致連續(xù)函數(shù)是指對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在一個(gè)正數(shù)δ，使得只要函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上的任意兩點(diǎn)之間的距離小于δ，那么這兩點(diǎn)之間的函數(shù)值之差就小于ε。

接下來(lái)，我們證明一致連續(xù)函數(shù)不一定連續(xù)。

假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上是一致連續(xù)的，但是不連續(xù)。那么在區(qū)間[a,b]上一定存在一個(gè)點(diǎn)c，使得f（c）不存在或者f（c）不等于函數(shù)值。

現(xiàn)在，我們?nèi)∫粋€(gè)足夠小的正數(shù)ε，使得2ε小于函數(shù)在點(diǎn)c處的不連續(xù)性。也就是說(shuō)，存在一個(gè)正數(shù)δ，使得只要x和c之間的距離小于δ，那么f（x）和f（c）之間的差值就大于ε。

但是，由于f（x）在區(qū)間[a,b]上是一致連續(xù)的，存在一個(gè)正數(shù)η，使得只要x和c之間的距離小于η，那么f（x）和f（c）之間的差值就小于ε。

這就產(chǎn)生了矛盾，因?yàn)槲覀円呀?jīng)找到了一個(gè)正數(shù)δ滿足條件，但是這個(gè)條件與f（x）在區(qū)間[a,b]上的一致連續(xù)性矛盾。因此，假設(shè)不成立，一致連續(xù)函數(shù)一定是連續(xù)的。

綜上所述，一致連續(xù)函數(shù)不一定連續(xù)。

一致連續(xù)一定可導(dǎo)嗎

一致連續(xù)的函數(shù)未必可導(dǎo)。

連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)；可導(dǎo)的函數(shù)是連續(xù)的函數(shù)；越是高階可導(dǎo)函數(shù)曲線越是光滑；存在處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)。

左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在且“相等”，才是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件，不是左極限=右極限（左右極限都存在）。連續(xù)是函數(shù)的取值，可導(dǎo)是函數(shù)的變化率，當(dāng)然可導(dǎo)是更高一個(gè)層次。

導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)函數(shù)值：

當(dāng)函數(shù)y=f（x）的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'（x0）或df（x0）/dx。

導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。

導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過(guò)極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。例如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，物體的位移對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度。

不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，一個(gè)函數(shù)也不一定在所有的點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù)。若某函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則稱其在這一點(diǎn)可導(dǎo)，否則稱為不可導(dǎo)。然而，可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

對(duì)于可導(dǎo)的函數(shù)f（x），x?f'（x）也是一個(gè)函數(shù)，稱作f（x）的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）。尋找已知的函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)的過(guò)程稱為求導(dǎo)。實(shí)質(zhì)上，求導(dǎo)就是一個(gè)求極限的過(guò)程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則也來(lái)源于極限的四則運(yùn)算法則。反之，已知導(dǎo)函數(shù)也可以倒過(guò)來(lái)求原來(lái)的函數(shù)，即不定積分。微積分基本定理說(shuō)明了求原函數(shù)與積分是等價(jià)的。求導(dǎo)和積分是一對(duì)互逆的操作，它們都是微積分學(xué)中最為基礎(chǔ)的概念。